Siamo in tempi nei quali le previsoni sono importanti e quasi ossesive: quanto durerà la pandemia? chi vincerà le elezioni in America? chi vincerà il campionato…?

Da sempre l’uomo ha cercato di prevedere il futuro, nell’antichità e alcuni anche oggi con gli stregoni, con la lettura dei visceri animali, delle stelle o con oscuri contatti con il mondo delle tenebre, ma e sottilineo ma ci siamo evoluti da queste pratiche con l’uscita della prima tabella da parte del primo statistico Graunt e poi si sono affinati gli strumenti matematici con Gauss che introdusse “Il metodo dei minimi quadrati”, fino ad arrivare ai giorni nostri con i Big Data e la straordinaria potenza dei calcolatori odierni.

Senza addentrarci nel mondo sofisticato dei Big Data, analizziamo un pò più a fondo i metodi messi a punto dal grande Gauss. Per fare questo si inizia con un racconto storico su come Gauss pervenì a questo metodo, uno dei perni fondamentali della statistica.

Un metodo per trovare i pianeti

Sebbene Gauss già a venticinque anni avesse contribuito in modo notevole al progresso della matematica, il risultato che lo rese famoso avvenne in ambito astronomico: il calcolo dell’orbita del pianetino Cerere: è un pianeta nano inserito nella fascia degli asteroidi tra Marte e Giove. A questo scopo si servì del “metodo dei minimi quadrati”, una delle scoperte più rilevanti di tutta la sua carriera.

Nel secolo XVIII gli scienziati erano attratti dagli studi astonomici, in particolare lo studio dei pianeti. E’ il secolo dove furono scoperti nuovi pianeti e gli studi erano incentrati sul cacolo delle orbite per prevedere dove i pianeti sarebbero ricomparsi nel cielo!!

Nel 1609 Keplero con la sua prima delle tre leggi affermò che le orbite dei pianeti sono ellittiche. Per quello che ci serve in questo articolo è sufficiente sapere che un’ellisse ha un semiasse maggiore denominto a e uno minore denomninato b.

In quel periodo gli astronomi applicavano la legge di Titius-Bode che descriveva e descrive a tutt’oggi i semiassi maggiori (a) delle orbite dei pianeti del sistema solare.

Esiste in astronomia una “strana” legge empirica che lega la distanza dal Sole degli oggetti in rivoluzione intorno alla nostra stella, in unità astronomiche (1 UA corrisponde a 1.500.000 km), secondo una formula matematica, i cui limiti di applicabilità sono stati compresi da tempo. Eppure questa legge ha funzionato egregiamente in passato e sembra funzionare anche al giorno d’oggi quando applicata agli esopianeti, per ragioni non del tutto chiare. Si tratta della legge di Titius-Bode, dal nome del matematico, fisico e astronomo tedesco Johann Daniel Tietz, latinizzato Titius (1729-1796) e dell’astronomo anch’esso tedesco Johann Elert Bode (1747-1826).

La legge dice che le distanze dal Sole (semiasse maggiore a) dei principali oggetti del sistema solare (in unità astronomiche UA, in cui 1 UA è pari a circa 150 milioni di chilometri, ovvero la distanza media Terra-Sole) si trovano sommando il numero 4 a ciascuno dei termini (n) della progressione geometrica 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384 e 768 (ragione 2) e dividendo per 10. Esprimendo in formula quanto detto:

Diamo uno sguardo ai valori generati dalla legge T-B relativi al periodo storico, come si può notare ci sono due buchi che lasciavano perplessi gli astronomi.

Il 1° gennaio 1801 l’astronomo italiano Giuseppe Piazzi (1746-1826) scoprì un pianeta nano nella fascia degli asteroidi a 2.76 UA che chiamò Cerere. Questo dato confermava la legge di T-B. Negli anni successivi furono scoperti altri pianetini sempre in quella fascia che avevano vaolori simili con distanze comprese tra 2,2 UA e 3,2 UA con una distanza centrata della fascia proprio di 2,8 UA. Tornando alla nostra soria Piazzi passati 41 giorni non riusciva più a trovare il pianetino (era nascosto dal Sole) allora si rivolse al consesso degli scienziati europei perchè lo aiutassero a risolvere questo problema di previsione.

Chi affrontò il problema e lo risolse? Fu Gauss, il più grande matematico del tempo! Lo risolse matematicamente con un metodo denominato: “Metodo dei minim quadrati”.

Il metodo dei minimi quadrati creato da Gauss è una tecnica di analisi numerica inserita nell’ambito dell’ottimizzazione matematica e si sviluppa così:

abbiamo una serie di dati:

Supponiam che travcle variabili x e y esista una rela zione da una funzione del tipo:

Il metodo cerca di trovare la funzione che riduca al minimo gli errori definiti come la differenza tra il valore reale della variabile y (posizione del paineta “spazio”) e la sua stima mediante la la funzione f(x) (x è il tempo):

Affinchè gli errori non si compensino fra negativi e positivi li eleva al quadrato e voilà ecco il metodo dei minimi quadrati:

Questa relazione deve essere minima, questo problema equaivale a trovare il minimo dell’errore quadratico medio, ovvero a minimizzare la funzione:

Il metodo dei minimi quadrati

Il metodo dei minimi quadrati (in inglese OLS: Ordinary Least Squares) è una tecnica di ottimizzazione (o regressione) che permette di trovare una funzione, rappresentata da una curva ottima (o curva di regressione), che si avvicini il più possibile ad un insieme di dati (tipicamente punti del piano). In particolare, la funzione trovata deve essere quella che minimizza la somma dei quadrati delle distanze tra i dati osservati e quelli della curva che rappresenta la funzione stessa. In questo caso, possiamo distinguere parabola dei minimi quadrati e retta dei minimi quadrati. Questo metodo converge solo nel suo caso limite a un’interpolazione, per cui di fatto si richiede che la curva ottima contenga tutti i punti dati. Questa è la definizione ufficiale. Cerchiamo di rendere più comprensibile il metodo affrontando tutti i passaggi necessari, si tratta di semplice algebra, anche se macchinosa.

Abbiamo una serie di dati sperimentali x_i e y_i che vengono rappresentati in un piano cartesiano. Essi costituiranno “una nuvola” dalla quale si intravede una curva interpolante:

Partiamo dal caso più semplice: tra questi dati si vede un andamento lineare che si avvicina ad una retta, quindi quello che ricercare è la seguente funzione:

Dove y rappresenta i valori rilevati, a è l’intercetta della retta con l’asse delle y e b è il coefficiente angolare della retta o pendenza. La costruzione della retta ci permetterà di ricavare altri punti che rappresentano il nostro fenomeno senza ricorrere alla raccolta sperimentale di campioni e quindi prevedere matematicamente e in modo piuttosto preciso l’andamento del fenomeno stesso.

DEVO TROVARE

a?    e      b?

Devo trovare i due valori a e b che mi identificano la retta, facendo in modo che gli errori prodotti dalla funzione siano i più piccoli possibili.

Questa funzione deve essere minima!  (la scritta 1* è dovuta alla mia imperizia nel lavorare con “equazione” di Word).

Deve essere minima la somma dei quadrati degli errori, per far sì che gli errori negativi non si compensino con quelli postivi.

Siamo quindi in presenza di una funzione  e questa deve essere minima, per far questo si deve ricorrere alle derivate parziali di a e di b ed eguagliarle a 0.

Inframezziamo una proprietà delle derivate per comprendere meglio i passaggi successivi.

Proprietà delle derivate e sommatorie 1

La derivata di una sommatoria ha il seguente sviluppo:

La derivata di una sommatoria equivale alla sommatoria delle derivate:

Tornando alla nostra trattazione abbiamo quindi:

Dobbiamo calcolare le derivate parziali, rispetto ad a e b, delle due funzioni. Ricordo che il 2 dell’esponente diventa 2 coefficiente e le derivate di costanti è eguale a 0.

Per la prima derivata rispetto ad (a), y e bx risultano costanti e quindi la derivazione comporta solo il segno meno di a. Per la seconda derivata rispetto ad (b), y ed a risultano costanti e quindi la derivata è (-x_i).

Proprietà delle derivate e sommatorie 2

Una sommatoria che includa una costante, che denomineremo K, è uguale alla K che moltiplica la sommatoria.

Esempio:

Tornando ai nostri passaggi:

 A sistema si elimina i 2 e il segno meno

Proprietà delle derivate e sommatorie 3

Una sommatoria della somma di due o più variabili è uguale alla somma delle sommatorie delle singole variabili.

Esempio:

Tornando al nostro sviluppo si ha:

Proprietà delle derivate e sommatorie 4

Una sommatoria di una costante K  è uguale alla costante K per il numero n della sommatoria.

Esempio:

Riprendiamo i passaggi:

Scriviamo in forma canonica le equazioni:

Siamo arrivati al sistema finale e dobbiamo procedere alla risoluzione per trovare le formule che ci danno a e b. Si adopera per la risoluzione il metodo di Cramer[1].

Il metodo di Cramer per la risoluzione di un sistema di primo a due equazioni

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Queste sono le formule con i discriminanti. Dobbiamo ricordare sempre che dobbiamo trovare a e b e non x e y. Calcoliamo il Determinante che è lo stesso per tutte due le soluzioni:

Le formule definitive sono:

ESEMPIO

Passiamo ad un esempio, quello classico è una raccolta dati peso e statura di un campione di popolazione maschile. Si tratta di trovare la retta di regressione che ci permette di poter predire il peso medio di una persona avente una certa statura.

I calcoli sono stati effettuati in EXCEL, risulta una operazione molto macchinosa e facile all’errore di distrazione, qui siamo partiti da 13 dati, un campione insignificante, e ci siamo trovati davanti a numeri che crescevano sempre di più, alla fine abbiamo costruito la retta di regressione come si può osservare dai due grafici che descrivono le tabelle, una sperimentale di 13 dati e l’altra costruita per dare una visione dettagliata della correlazione tra peso e statura.

La parte teorica:

La parte sperimentale con la retta interpolante ricavata dai dati elaborati sopra secondo le formule:

Con il contributo di Antonio Rufian Lizana “Una rivoluzione nella teoria dei numeri: Gauss” e da Lezioni registrate di Matematica a beneficio degli studenti dell’ITET V. Emanuele III di Lucera del prof. Stefano Amoroso.

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[1] Un ricordo di Università (Padova). In laboratorio capitava molto spesso di dover ricorrere al metodo dei minimi quadrati, a quel tempo (secolo scorso) non c’era EXCEL o similari, solo qualche primitiva calcolatrice con le sole quattro operazioni, allora al mio docente venne in mente un metodo “empirico”. Si doveva mettere su un foglio di carta millimetrata i punti sperimentali trovati in piano cartesiano e poi…… con una stecca cercare la retta che meglio interpolava i punti. Si risparmiava molto tempo e i risultati erano buoni e assimilabili a quelli trovati poi con il macchinoso metodo. (genio italico…)