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Il sogno di Leibniz

Con questa espressione Giuseppe Peano, “il maestro del pensiero formale”, battezzò nel 1898 la prima formulazione di Leibniz, del più meraviglioso programma di ricerca progressivo della storia della conoscenza umana: LA LOGICA MATEMATICA.

Così racconta Leibniz:

”…Studiando questo problema di logica, arrivai come spinto da una necessità interna a questa idea straordinaria: doveva essere possibile costruire una caratteristica universale della ragione, mediante la quale, in qualsiasi dominio, tutte le verità si presenterebbero alla ragione in virtù di un metodo di calcolo, come nell’aritmetica o nell’algebra….Di conseguenza, quando sorgeranno controversie tra due filosofi, non sarà più necessaria una discussione; sarà sufficiente infatti che prendano in mano le penne, si siedano di fronte agli abachi e si dicano l’un l’altro: CALCULEMUS!”

Tutto era cominciato due secoli prima, nel Seicento, con la Rivoluzione Scientifica.

La nascita dell’algebra simbolica e l’esplosione della idea del ‘regno dei segni’ come dimora della scienza ne era stato forse il processo fondamentale. E sin dall’inizio era stato un tema su cui convergevano l’empirismo e pragmatismo inglese e la filosofia razionalistica tedesca.

Da un lato Hobbes e Locke, dall’altro Leibniz concepirono l’idea che il pensiero sia calcolo. Nei “Nuovi Saggi sull’Intelletto Umano” (1705) Leibniz critica Locke, ma in fondo ne condivide l’agenda dei problemi.

Il regno dei segni per Leibniz (1646-1716) come per la successiva matematica tedesca è il linguaggio della ‘teoria’, mentre per la matematica inglese è il ‘calcolo’. Nella tradizione culturale empirista inglese il pensare è in primo luogo associazione di ‘idee’, che conserveranno a lungo la loro originale natura di ‘immagini mentali’ costruite induttivamente dall’esperienza sulle cose.

L’idea che emerge tra gli empiristi è che il calcolo, anche se le idee sono eterogenee rispetto ai segni, può̀ riflettere la associazione e separazione tra le ‘idee’. Ha un ruolo solo pratico, i ‘segni’ nel mondo sono degli intrusi, e lo stesso Newton, padre del calcolo differenziale, per la sua fisica userà̀ la rappresentazione geometrica, adoperando le tecniche differenziali solo per fare qualche ‘calcolo’, inventando a tal fine anche le tecniche per il calcolo approssimato.

Per Leibniz invece l’ars combinatoria, la scienza della manipolazione dei segni, è omogenea alla aritmetica nel costituire il linguaggio di base della scienza, ed ha due aspetti che sono ancora oggi alla base della nostra idea di ‘linguaggio di rappresentazione’: è una characteristica universalis, cioè̀ un lessico in grado di tradurre in sequenza di segni qualsiasi fatto esprimibile, ed è un calculus ratiocinator, cioè̀ una notazione simbolica in grado di ricavare tutte le inferenze e di descrivere tutti i calcoli.

Prima del protocomputer

Siamo rimasti all’idea del proto computer, la macchina analitica di Babbage, e al primo sw creato da Ada Lovelace. La macchina era destinata, nell’idea del suo progettista, a risolvere le equazioni differenziali e gli sviluppi in serie di funzioni per creare tabelle numeriche precise e affidabili. Solo Ada, con la sua forte personalità e sensibilità femminile, osò pensare altri utilizzi di questa macchina, ma siamo sempre nel campo dei numeri costruiti con un alfabeto di dieci cifre (0…….9).

Per arrivare alla definizione di bit (contrazione di binary digit) composto da un alfabeto di due soli numeri (0, 1) bisogna percorrere un lungo cammino e dare un accenno alle principali teorie logiche-filosofiche-matematiche-elettroniche che ci introducono nella moderna era dell’informazione digitale.

I protagonisti principali di questa cavalcata culturale sono:

1. Gottfried Wilhelm von Leibniz (Lipsia, 1-lug-1646 – Hannover, 14-nov-1716) è stato un matematico, filosofo, scienziato, logico, teologo e altro. Lo si può definire un genio universale. 
2. George Boole (Lincoln, 2-nov-1815 – Ballintemple, 8-dic-1864) è stato un matematico e logico britannico, ed è considerato il fondatore della logica matematica.
3.  Claude Elwood Shannon (Petosskey, 30-apr-1916 – Medford, 24-feb-2001) è stato un ingegnere e matematico statunitense è definito “il padre della teoria dell’informazione”.

Cominciamo da Leibniz e dalla sua idea meravigliosa, già accennata precedentemente. Voleva creare un alfabeto speciale i cui elementi non stessero per suoni, ma per concetti. Non un alfabeto fonetico, ma un alfabeto composto di lettere che potevano assumere il significato di simboli e/o concetti in modo da creare un linguaggio che, basato su questo alfabeto, potesse stabilire per mezzo di calcoli simbolici quali suoi enunciati erano VERI o FALSI e quali relazioni intercorrevano tra essi.

La logica aristotelica, senza addentrarci oltre, proponeva la suddivisione dei concetti in categorie, quindi Leibniz paragonò il ragionamento a un meccanismo. Il suo intendimento era ridurre ogni ragionamento a una sorta di calcolo e da ultimo costruire una macchina capace di calcolare.

Leibniz pensava a una caratteristica universale, cioè un sistema di simboli che non solo fosse reale ma abbracciasse anche il pensiero umano in tutta la sua estensione.

“……è la notazione algebrica a incarnare l’ideale della caratteristica universale e a servire da modello. Un sistema di simboli ben scelto sia utile ben scelti sia utile e indispensabile per il pensiero deduttivo……..”

nel far riferimento all’aritmetica e all’algebra Leibniz osservò come queste discipline dimostrino quanto sia importante un buon simbolismo. Aveva in mente i vantaggi della numerazione araba introdotta in Europa da Leonardo Pisano detto il Fibonacci….

Il matematico pisano Leonardo Fibonacci, vissuto tra il 1175 e il 1235 e autore di due testi fondamentali per le scienze matematiche del Medioevo: il primo è il “Liber abbaci“ pubblicato nel 1202 e successivamente rielaborato nel 1228; il secondo è la “Practica geometriae“, dato alle stampe nel 1220.

La prima opera è particolarmente significativa. Emergono in primo luogo elementi biografici sulla vita di Fibonacci, il quale visse in una località del nord-Africa presso Algeri, dove entrò in contatto con la cultura araba. Conobbe le opere di Euclide e, infine, si stabilì definitivamente a Pisa. Nel “Liber abbaci” Leonardo Fibonacci espone il contenuto e le funzionalità della numerazione posizionale indiana – adottata in un secondo momento dagli Arabi – fino a quel momento praticamente sconosciuta in Europa, e tratta una serie di problemi matematici, come la famosa successione numerica in cui ogni elemento è uguale alla somma dei due precedenti (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …).

Si tratta in conclusione di un testo fondamentale per le scienze matematiche, che ha permesso l’introduzione in Europa dei numeri arabi.

I numeri arabi (o meglio indo arabi) erano percepiti più come entità esoteriche che strumenti di calcolo, solo i grandi matematici come Leibniz e Newton avevano capito appieno quale poteva essere la loro funzione.

Saltando un po’ di passaggi e interessandoci solo agli argomenti di questa dissertazione, ci limitiamo a dire che:

Leibniz fece una scoperta che lo colpì molto per la sua semplicità: la notazione binaria! Questa notazione permetteva di scrivere qualsiasi numero usando solo 0 e1!

Pensò, quindi a un grande programma suddiviso i tre parti:

1. Bisognava creare un compendio, un’enciclopedia che abbracciasse tutta la conoscenza umana;
2. La scelta delle funzioni fondamentali e cruciali e dei simboli a esse adeguati;
3. Le regole deduttive e come manipolare questi simboli (calculus ratiocinator) che diventeranno i fondamenti della logica simbolica.

Per lui nell’Universo non c’era nulla d’indeterminato o accidentale, ma tutto era conforme a un piano perfettamente chiaro nella mente di Dio, il quale aveva creato il migliore dei mondi possibili: di conseguenza tutti gli aspetti del mondo, naturali e soprannaturali, erano collegati da RELAZIONI. Era lecito sperare di scoprirLE con gli strumenti della ragione solo ponendoci in tale prospettiva.

“……uomini seri e di buona volontà seduti attorno ad tavolo per risolvere qualche spinoso problema, potranno formularlo nella caratteristica universale e dire CALCULEMUS……..”

Questo, ovviamente, applicando alcune regole dell’algebra che valgano comunque, in qualche misura, per i concetti logici e i numeri.

Leibniz, che parlava con tanta passione e convinzione della caratteristica universale, all’atto pratico fece ben poco per realizzarla; cercò invece più volte di produrre un calculus ratiocinator.

In un frammento del suo tentativo meglio riuscito Leibniz propone, in anticipo di un secolo e mezzo, un’algebra della logica che specifichi le regole di manipolazione dei concetti logici, così come l’algebra ordinaria specifica le regole di manipolazione dei numeri. Un passaggio fondamentale è quello di rappresentare le proposizioni, in modo abbreviato, con delle lettere (a, b, c……….p, q, r) e queste proposizioni possono assumere solo carattere di VERO o FALSO.

Leibniz introduce un simbolo speciale, che rappresenta la combinazione di molteplicità di oggetti del tutto arbitrarie; il concetto, in sostanza, è di combinare due collezioni in una collezione unica che contenga tutti gli elementi dell’una e dell’altra.

Il segno + suggerisce un’analogia con la somma ordinaria, ma il cerchietto in cui è racchiuso avverte che questa non è in tutto e per tutto addizione ordinaria, perché quelli che vengono sommati non sono numeri.

L’assioma che è presentato è lo stesso che, in un contesto diverso diventerà la pietra angolare della logica di Boole.

Questo assioma esprime il fatto che combinando una molteplicità di termini con sé stessa non si ottiene niente di nuovo (è chiaro che combinando tutte le cose appartenenti a una collezione con quella stessa collezione produrremmo, di nuovo solo la collezione di partenza). Ovviamente l’addizione numerica è del tutto diversa 2+2=4 e non 2.

Una carrellata degli scritti originali di Leibniz riguardanti il sistema binario, utile per rendersi conto del grande lavoro del filosofo tedesco.

Questi scritti sono in francese, lingua ufficiale scientifica del periodo. Per completare la nostra conoscenza sul lavoro di Leibniz si consiglia di leggere questi due articoli editi dal giornale “La Stampa” nel 2011, dove è spiegato l’enorme interesse del filosofo verso i caratteri Fohi cinesi vecchi più di duemila anni.