3 Statistica l’avventura (contro i terra piattisti!)

La statistica ha sempre avuto la funzione di misurare le “cose” e grazie agli alogoritmi e ai suoi indici costruire previsioni sempre più affidabili! Con la statistica e il calcolo delle probabilità si cerca di arrivare a definire le leggi che governano determinati fenomeni: fisici, chimici, attuariali, finanziari, sociali, politici (ese. sondaggi) ecc.: tutto ciò che può essere “numerabile” e quindi con la possibilità di contare e applicare algoritmi adatti.

Iniziamo con il dare una definizione di indice statistico: un indicatore statistico (o indice statistico) è una funzione di un insieme finito o infinito di valori. In statistica si costruiscono per effettuare una sintesi dei dati. Ad esempio la media aritmetica è un indice statistico, forse il più semplice e il più adoperato.

La legge dei grandi numeri oppure teorema di Bernoulli (in quanto la sua prima formulazione è dovuta a Jacob Bernouilli), descrive il comportamento della media di una sequenza di n prove di una variabile casuale, indipendenti e caratterizzate dalla stessa distribuzione di probabilità (n misure della stessa grandezza, lanci della stessa moneta, ecc.), al tendere ad infinito della numerosità della sequenza stessa. In altre parole, grazie alla legge dei grandi numeri, possiamo fidarci che la media sperimentale, che calcoliamo a partire da un numero sufficiente di campioni, sia sufficientemente vicina alla media vera, ovvero quella calcolabile teoricamente. Che cosa significhi “ragionevolmente sicuri” dipende da quanto vogliamo essere precisi nel nostro test: con dieci prove, avremmo una stima grossolana, con cento, ne otterremmo una molto più precisa, con mille, ancora di più, e così via: il valore di che siamo disposti ad accettare come sufficiente dipende dal grado di casualità che riteniamo necessario per il dato in questione.

In termini generici, per la legge dei grandi numeri si può dire:

• che la media della sequenza è un’approssimazione, che migliora al crescere di n della media della distribuzione;
• e che, viceversa, si può prevedere che sequenze siffatte mostreranno una media tanto più spesso e tanto più precisamente prossima alla media della distribuzione quanto più grande sarà n.

Curva di Gauss

Nel rappresentare graficamente alcuni particolari gruppi di dati, si può osservare che negli istogrammi i punti più alti di tutte le colonne si possono riunire in una linea spezzata, detta poligonale di frequenza.

Queste linee in moltissimi casi tendono ad assumere una particolare forma che ricorda il profilo di una campana.

Senza dilungarci, il calcolo delle probabilità stabilisce che quando si hanno popolazioni i cui dati sono stati rilevati in modo casuale oppure, si ha una serie di misure affette da errori che si presenta in modo casuale allora:

un istogramma costruito con un numero infinito di campioni si può rappresentare con una classica curva a campana.

Questa curva, dal nome del matematico che l’ha studiata, Carlo Federico Gauss, si chiama GAUSSIANA e la sua equazione è la seguente:

Il tutto può anche essere riassunto come legge dei grandi numeri.

Questa legge afferma che al crescere delle prove ripetute il valore della probabilità statistica si avvicina progressivamente al valore della probabilità calcolata teoricamente.

Questo graficamente significa che al crescere dei dati, la poligonale dell’istogramma si avvicina sempre di più alla curva a campana di Gauss.

I diagrammi che si ottengono da valori sperimentali presenteranno curve più acute o più basse, più spostate a sx o a dx, oppure con delle deformazioni cioè con la cuspide più appiattita o più acuta o con tendenza ad avere due cuspidi o essere più ripida su un fianco.

Tuttavia questa curva ha delle forme e proporzioni caratteristiche che possiede esattamente solo quando i valori o le misure siano prese in modo effettivamente casuale (cosa peraltro quasi impossibile da realizzare).

inserire disegno curve

Deviazione standard in relazione alla gaussiana

La deviazione standard o scarto quadratico medio misura la dispersione delle misure effettuate di una determinata grandezza intorno al suo valore medio, più ampia è la deviazione standard, maggiore è la probabilità che, effettuando una misura questa si scosti dal suo valore medio.

Lo scarto più precisamente serve a misurare quanto è larga la gaussiana. Riferendoci al grafico si vede che la curva possiede un asse di simmetria che corrisponde in questo caso all’asse y.

Nei casi sperimentali questo asse di simmetria è tracciato in corrispondenza del valore medio di tutte le misure.

A sx e a dx sono disegnati delle barre verticali (rettangoli colorati) ad una distanza dall’asse di simmetria rispettivamente di (1s e  -1s), (2s e -2s), (3s e -3s) dove s sta per scarto.

Questa che segue è una definizione molto importante e utile per il suo aspetto applicativo:

L’area compresa fra l’asse orizzontale, la curva a campana e le due barre di ascissa s   -s è dotata della proprietà che in quella zona cade il 68,27% di tutte le misure (chiamato anche raggio di distribuzione), tra 2s     -2s il 95,45% e infine tra 3s     -3s il 99,73% di tutte le misure.

Riflessione

Questo piccolo compendio di statistica è chiaramente incompleto e insufficiente dal punto di vista teorico, ma è in grado di fornire i primi e più utilizzati strumenti matematici. Senza l’ausilio dei calcolatori elaborare dati statisticamente, è un’impresa ardua essenzialmente per due motivi:

• il primo per la mole dei dati da trattare;
• il secondo per la complessità di alcune formule e di certi algoritmi (trattati più avanti).

Questo presupponeva la conoscenza di tutte le scorciatoie matematiche e semplificazioni necessarie a ridurre l’enorme mole dei calcoli, comportando il confinamento di questa importantissima disciplina ad un ambito riservato agli specialisti. Ma gli strumenti statistici, visto l’importanza che rivestono devono essere messi alla portata di tutti, in modo che chiunque possa analizzare o avere buone probabilità di prevedere un fenomeno. Il f.e. nelle sue ultime versioni è in grado di:

• elaborare con elevato grado di precisione una enorme mole di dati;
• le formule matematiche necessarie per queste elaborazioni sono a disposizione dell’utente sotto forma di funzioni, semplicissime da adoperare.

Difatti il compito più difficile ora non è quello di insegnare la statistica, ma quello di convincere le persone a non avere timore e adoperare gli strumenti statistici per trarne previsioni, analisi, trend utili per il proprio lavoro. In conclusione la statistica rimane uno degli strumenti più obiettivi che si abbia a disposizione per analizzare eventi, con l’aiuto del computer queste analisi sono molto facilitate e non sono più un retaggio di pochi specialisti.

Non è la prima volta e chiaramente non sarà l’ultima che l’interpretazione di queste analisi può essere condotta in modo distorto e per propri fini, ma è anche vero che un tempo prima di poter contestare una analisi statistica bisognava armarsi di grande pazienza e perderci molto tempo. Con la conoscenza e l’uso di questi strumenti d’analisi che il f.e. mette a disposizione di tutti, si possono effettuare i necessari controlli e verifiche, confermare o smentire ipotesi.