E’ un articolo che tratta un argomento abbastanza difficile, ma se seguite tutte le istruzioni con calma e senza prendere paura sarete in grado di fare previsioni, anche quelle sulla pandemia. Alla fine troverete un file EXCEL con tutte le indicazioni del caso.

Questa UD[1] sviluppa esercizi che interessano un settore molto importante della statistica: l’interpolazione e la correlazione di dati.

L’insieme di questi due argomenti costituisce l’analisi di regressione. L’introduzione di questa metodica nel foglio elettronico, ampliata e resa più sofisticata, ha permesso il sorgere di una nuova disciplina che è stata chiamata più in generale ANALISI DI PREVISIONE.

In parole molto semplici si tratta di vedere se esiste una relazione (o legge matematica) tra due o più insiemi di dati sperimentali. Trovata questa relazione, applicarla per ricavare nuovi dati e così effettuare previsioni con un buon grado di approssimazione.

Si abbiano due insiemi di dati sperimentali e si supponga che tra questi due insiemi possa esistere una relazione matematica che leghi assieme questi dati. Prima operazione quindi è quella di vedere se esiste una correlazione e se possibile sapere qual è il grado di correlazione. Più correlati sono i dati e maggiore sarà poi l’affidabilità della legge matematica.

CORRELAZIONE

In matematica, per correlazione, si intende un legame di mutua dipendenza tra i valori assunti da due (o più) variabili casuali misurate assieme.

In genere si dice che tra due variabili casuali non necessariamente tra loro in relazione di causa ed effetto, esiste correlazione quando risulta che una di esse varia in funzione dell’altra con un grado di correlazione più o meno grande.

Il grado di correlazione è massimo quando si ha una dipendenza funzionale, ad esempio gli insiemi dei punti di una retta X e Y sono legati tra loro dall’equazione della retta. Sarà nullo quando al variare di una grandezza, l’altra assume sempre gli stessi valori o varia in modo puramente casuale.

Due variabili tra loro correlate si diranno collineari quando il legame funzionale che le unisce è o tende ad essere lineare, questo è il caso più frequente.

Lo studio della correlazione tra due variabili X e Y può essere fatta sul piano cartesiano: se i punti si disperdono in modo completamente casuale non si ha correlazione, mentre se si raggruppano attorno ad una retta  o a una curva  si ha una tendenziale dipendenza funzionale.

Il grado di correlazione esistente tra coppie  di osservazioni (x,y) delle due variabili X e Y è misurato da un indice detto coefficiente di correlazione  e indicato con il simbolo R.

Questo coefficiente varia da 0 a 1. Se assume il valore  0 significa che non si ha nessuna correlazione, mentre se assume il valore 1 si ha una correlazione perfetta.

INTERPOLAZIONE

Stabilita la correlazione tra i dati, trovare la legge matematica che meglio approssima la relazione tra i due o più insiemi si chiama interpolazione dei dati.

Si supponga di avere una serie di valori sperimentali x e y , variabili e casuali. Si riporta come esempio il peso e la statura di una popolazione di ragazzi. Mettendoli in un grafico XY (cartesiano) si ha la visione di una serie di punti sparsi a caso. Stabilito se esiste un accettabile grado di correlazione tra i due gruppi di dati, si effettua la regressione lineare che non è altro che un metodo, può anche essere grafico, per determinare la miglior linea passante attraverso questa serie di punti.

Un metodo pratico difatti consiste nel disegnare con squadra e matita la migliore retta possibile passante tra questi punti e poi dal disegno della stessa ricavarsi la funzione matematica.

Lo scopo principale è quello di riuscire a determinare la legge matematica sperimentale che correla, o meglio interpola questi dati.

Trovare la legge matematica che interpola questi dati è la chiave di volta dell’analisi di regressione perché una volta ottenuta la legge si possono effettuare analisi di previsione.

Impostando un dato, tramite la legge matematica, si può avere una stima accettabile dell’altro.

Analisi di regressione

OBIETTIVI e COMPETENZE Conoscere i concetti teorici su cui si basa l’analisi di regressione Conoscere e applicare le formule_matrici Attuare la procedura per la creazione di una linea di tendenza in un grafico a dispersione XY rappresentante i dati sperimentali (competenza) Conoscenza teorica dei principali elementi di una analisi di regressione Conoscenza del concetto di interpolazione dei dati Conoscenza del concetto di correlazione dei dati Attuazione della procedura di una analisi di regressione tramite la funzione REGR.LIN Interpretare la tabella di statistiche aggiuntive emessa tramite la funzione REGR.LIN Costruire la legge matematica che meglio correla i dati sperimentali con i parametri della tabella di statistiche aggiuntive (competenza) Con la legge matematica così trovata realizzare il grafico XY (competenza) Creare il modello tabelle previsionali (competenza)

In questo articolo viene proposto un uso semplice ed immediato dell’analisi di previsione. Successivamente verranno approfonditi gli aspetti matematicamente più ostici di questo tipo di operazione. In sostanza si tratta di usare il f.e. come uno strumento che sia in grado di fornire una previsione analizzando una tendenza.

Un obiettivo trasversale molto importante è quello di applicare la metodica delle formule matrice.

mod_op

Modalità operative con le formule matrici

Realizzare un riepilogo per l’uso delle formule matrici, con esempi.

In questo foglio di lavoro è stato realizzato un riepilogo riguardante le formule_matrice.

Una formula inserita in una cella deve fornire un risultato, ma esistono funzioni (vedi =FREQUENZA) che invece di un risultato UNICO forniscono PIU’ RISULTATI, in questo caso si parla allora di formula_matrice. Perché la formula_matrice funzioni, bisogna attivare una procedura abbastanza rigida, composta da quattro fasi.

Definiti sia i vettori sia le matrici, come si può vedere nel foglio di calcolo, ecco le quattro fasi da eseguire nell’ordine dato:

1. conviene denominare gli intervalli che prenderanno parte alle operazioni;
2. con l’aiuto del mouse si evidenzia la zona dove dovranno apparire i dati, questa zona prende il nome di intervallo matrice;
3. si immette nella prima cella dell’intervallo matrice la formula inerente il modello di calcolo, in questo esempio un semplice prodotto, questa formula prende il nome di formula_matrice; (ATTENZIONE!!! seguire le indicazioni segnate sul f.e. mod_op e provare a esercitarsi sulle formule matrici.
4. con la contemporanea pressione dei taasti CTRL+SHIFT+INVIO la formula viene racchiusa tra due parentesi graffe e va ad occupare tutto l’intervallo matrice, restituendo i valori cercati.

Questa procedura è molto rigida per cui è bene seguirla esattamente senza cercare scorciatoie!

calc_matr

Eseguire le operazioni evidenziate sul foglio di calcolo, tramite l’uso della formula_matrice.

In questo foglio vengono proposti calcoli con vettori e matrici di dati, in modo da familiarizzare con questo nuovo strumento.

Operazioni tra vettori

Dati i vettori vet_1 e vet_2 si propone la ricerca del vettore vet_p costituito dal prodotto dei rispettivi termini di vet_1 e vet_2.

Il vettore vet_s propone invece la somma dei rispettivi dati di vet_1 e vet_2.

Il vettore vet_radq esprime invece le radici quadrate di vet_2.

Le formule matrice adoperate sono esplicitate sul foglio di calcolo.

Operazioni tra vettori e matrici & matrici e matrici

Sono riportati esercizi con esemplificazione delle formule. Sono stati scelti numeri bassi per facilitare il controllo delle operazioni. Si consiglia di provare ripetutamente questa parte in modo da impadronirsi delle modalità operative.

Le operazioni proposte sono finalizzate solo all’apprendimento e utilizzo delle formule_matrici. Il f.e. mette a disposizione numerose funzioni che eseguono le operazioni tra matrici, usate in modo particolare per calcoli ingegneristici. Per maggiori dettagli consultare la guida in linea.

lin_ten    &    proc_lin_tend

La tabella mesi cm, rappresenta la crescita nel tempo di una pianta tropicale.

Ricercare la linea di tendenza, con un grafico appropriato e calcolare i dati di tendenza.

Prima di applicare la procedura vera e propria di analisi di regressione, viene spiegata la linea di tendenza. E’ un metodo più semplice ed immediato ed a volte è sufficiente applicare queste semplice procedura per avere una stima adeguata del fenomeno in esame.

La linea di tendenza è una curva interpolante che approssima al meglio i dati disposti in diagramma a dispersione XY. Si supponga di avere due gruppi di dati sperimentali rappresentati dagli intervalli mesi e cm. Rappresentano la crescita temporale di una pianta tropicale. Si vuole vedere qual è la linea di tendenza, senza essere costretti ad effettuare una analisi di regressione completa.

Anche in questo caso la procedura da seguire è molto rigida e consiste in quattro fasi:

1. con autocomposizione grafico si crea il grafico a dispersione XY per rappresentare i dati sperimentali;
2. si clicca due volte rapidamente con il mouse sopra i simboli (quadratini) rappresentanti i dati, finché non assumono un’altra colorazione e forma: vuol dire che sono stati selezionati;[1]
3. si seleziona il menu Inserisci, che nel frattempo è cambiato, e si seleziona la voce Linea di tendenza;
4. si presenta una finestra di dialogo con una serie di opzioni di curve interpolanti, si sceglie quella che più si avvicina al tipo di distribuzione dei dati;
5. in questo caso viene scelta  una retta. Se si volessero avere anche i valori di questa retta basta attivare la funzione_matrice TENDENZA, selezionare esattamente l’intervallo matrice e poi inserirla come formula matrice, seguendo la sintassi esposta sul foglio di calcolo, ottenendo le coordinate (y) dei punti della retta.

Con questo tipo intervento si ha solo la linea di tendenza di un fenomeno, mentre non si può conoscere il grado di correlazione tra i due insiemi di dati e non si possono fare previsioni matematiche, se non come stime.

regr_lin

La tabella mesi cm, rappresenta la crescita nel tempo di una pianta tropicale.

Effettuare l’analisi di regressione, trovare la legge matematica, costruire il grafico, creare una tabella previsionale.

Se si vuole andare oltre la linea di tendenza, bisogna affrontare tutti gli aspetti dell’analisi di regressione. Ora tutti i f.e. mettono a disposizione o un comando o, come in questo caso, una funzione_matrice che fornisce tutti i parametri costituenti l’analisi di regressione.

Il metodo matematico seguito è quello dei minimi quadrati, la curva interpolante maggiormente usata è la retta di equazione generale y=mx+b

Viene fornita una succinta spiegazione dei parametri più importanti forniti dall’analisi di regressione.

Descrizione voci tabella regressione

m  coefficiente(i) della x	rappresenta l’inclinazione della curva di regressione
b   costante o intercetta della curva con l’asse y	intercetta sull’asse Y e rappresenta il valore della variabile dipendente quando il valore della variabile indipendente è 0. Se è positivo vuol dire che all’aumentare di X aumenta Y; se è negativo vuol dire che all’aumentare di X diminuisce Y.
sm   errore standard del coefficiente(i) x	errore standard di ciascun coefficiente X, rappresenta il grado di precisione con cui l’equazione riproduce la correlazione tra le variabili. In generale se il valore dell’errore standard è meno della metà del valore del coefficiente della X , allora le stime effettuate con l’equazione sono abbastanza precise.
gdl   gradi di libertà	il numero di osservazioni meno il numero di variabili indipendenti -1. Se si utilizza un’intercetta 0, i gradi di libertà sono pari al numero di osservazioni meno il numero di variabili indipendenti. Consentono di verificare se nella regressione sono state usate tutte le variabili indipendenti.
r2   R quadrato[2]	misura l’affidabilità della regressione ed è un numero compreso tra 0 e 1, più vicino a 1, maggiore è l’affidabilità. Viene anche chiamato  coefficiente di determinazione o coefficiente di correlazione, la sua radice quadrata è il coefficiente di relazione.

Non tutte queste voci verranno utilizzate, solo quelle più importanti e significative!

La funzione_matrice che fornisce tutti questi dati e in più altri (per maggiori dettagli vedere la guida in linea) è:

=REGR.LIN(y_nota;x_nota;cost;stat)

y_nota   insieme delle y (dati sperimentali)

x_nota   insieme delle x (dati sperimentali)

cost    se si scrive VERO fornisce la b

stat   se si scrive VERO fornisce tutti i dati statistici dell’analisi

I dati sperimentali, di cui si vuole effettuare una analisi, sono espressi con due vettori mesi e cm. Rappresentano un accrescimento in cm con scadenza mensile di una pianta tropicale. Le rilevazioni sono state eseguite per i primi 7 mesi.

Si evidenzia un intervallo matrice 5×2 (tabella regressione), in questo intervallo dovranno apparire tutte le voci della tabella, esattamente nell’ordine descritto sul foglio di lavoro.

Si scrive la funzione REGR.LIN nella prima cella, si preme CTRL+SHIFT+INVIO ottenendo così i dati relativi all’analisi di regressione.

I dati tabellari maggiormente utilizzati sono:

m	5,428571  è il coefficiente angolare della retta interpolante i dati.
b	10,28571  è l’intercetta con l’asse delle y della retta interpolante.
r2	0,93342  è il coefficiente di correlazione dei dati; se uguale a zero la correlazione non esiste, se uguale a 1 è massima. In questo caso la correlazione tra i due insiemi è molto buona, quindi è possibile scrivere la legge matematica che meglio correla i dati.

Una volta stabilita l’affidabilità della correlazione, si può impostare la relazione matematica che correla i dati dei due insiemi.

I mesi costituiscono le x, quindi basta impostare la formula: A7*$D$7+$E$7 e copiarla per tutta l’estensione della tabella. A7 è la x, $D$7 è m, compare con il riferimento assoluto così come $E$7 che rappresenta b. La retta interpolante è y=mx+b, i dati così trovati (15,71429, 21,14….etc) sono i valori di y che meglio interpretano la legge matematica. Fino a questo punto si è rimasti sempre nell’ambito della linea di tendenza, ma si può andare oltre!

Si possono effettuare delle previsioni!

Se il grado di correlazione è buono, come abbiamo già appurato (r2=0,93342), i dati che si possono ottenere utilizzando la legge matematica così trovata costituiranno le previsioni.

Nel foglio viene proposta una tabella con i dati previsionali da 0 a 19 mesi con relativo grafico, utile per valutazioni sommarie.

Viene costruita anche una tabella previsionale. In una cella viene inserito il mese e nella cella contigua dove è inserita la legge matematica apparirà il valore previsto.

peso_altezza

Trovare la relazione che lega la misura del peso in kg con la misura dell’altezza in m. Realizzare il grafico di tendenza.

Realizzare la tabella previsionale comprensiva dell’affidabilità della previsone e inoltre le stime in difetto o in eccesso della stessa.

Il problema è di natura lineare, quindi affrontabile con la funzione REGR.LIN.

La tabella con i dati sperimentali è presente sul foglio di calcolo con i dati relativi al peso come x e quelli relativi all’altezza come y.

Si procede alla analisi di regressione attivando la funzione_matrice REGR.LIN. Si ottengono i parametri e si controlla che R quadrato sia buono, in questo caso il valore 0,87 ci assicura che tra i due insiemi di valori esiste un buon grado di correlazione; l’errore standard del coefficiente della X (sm=0,000791) è sicuramente inferiore alla metà del coefficiente X (m=0,009192) e questo assicura affidabilità alle stime calcolate.

Si costruisce quindi la tabella previsionale come indicato nel foglio.

Aggiungo un file contenente esercizi interessanti sull’argomento.

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[1]Viene fatto rilevare un altro importante concetto: i quadratini sono un modo diverso di rappresentare la stessa entità numerica. Questi possono essere spostati, cambiando simultaneamente il rispettivo valore in tabella. Interagiscono con l’utente e variano il loro valore spostandoli nell’area prevista per il grafico. Sono collegati dinamicamente con i numeri in tabella, quindi lo spostamento in alto (verticale) rappresenta la somma mentre in basso (verticale) la differenza, di lato la traslazione rappresenta la combinazione dei due movimenti.

[2] Se viene visualizzato un valore inferiore a 0 significa che è stato specificato un’intercetta 0 in un caso in cui non era opportuno.

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[1] Alcuni esercizi sono stati tratti da “la matematica per il calcolatore tascabile” Franco Potenza Hoepli