Un numero è pari o dispari?

Un breve percorso……nella teoria dei numeri……in informatica….nei  diagrammi di flusso….negli algoritmi……nella storia..

Questo è un progetto:

INTEL® TEACH TO THE FUTURE

E’ un progetto mondiale finanziato da INTEL, per favorire lo sviluppo e la formazione degli insegnanti nell’uso consapevole e ragionato delle TIC. Cosa sono le Tic? Sono le Tecnologie dell’Informazione e della Comunicazione (in inglese ICT), cioè tutti quei processi e strumenti tecnologici che servono a produrre e migliorare le conoscenze e gli strumenti di apprendimento. Uso del computer, o meglio dell’informatica come “Metodo per la risoluzione di problemi“.

Si vuole stabilire se un numero, appartenente all’insieme dei numeri naturali N, è pari o dispari. Ci facciamo aiutare dal computer?

Bisogna definire tre concetti molto importanti:

• La procedura di calcolo o piano d’azione;
• Il concetto di divisibilità;
• Puntualizzare quali strumenti di calcolo vengono adoperati.

Il piano d’azione prevede:

• 

• 

Il piano d’azione prevede:

1. L’individuazione dell’algoritmo;
2. La costruzione del diagramma di flusso;
3. La codifica nel linguaggio adatto;
4. L’implementazione con il software più adatto;
5. La verifica del corretto funzionamento del modello.

Ma prima di questo bisogna conoscere l’esatto significato della parola algoritmo….

Algoritmo è un termine che formalizza il concetto intuitivo di procedura generale, di metodo sistematico valido per risolvere una certa classe di problemi. In matematica, è la soluzione di un problema basata sull’uso ripetuto di un semplice metodo computazionale (ne è un esempio comune il procedimento dell’operazione di divisione in aritmetica). In informatica, indica, in generale, una sequenza di passi successivi, ciascuno dei quali specifica un’azione (o istruzione) eseguibile in modo meccanico. La sequenza completa permette di risolvere un problema, una volta che siano assegnate le condizioni iniziali. Per renderne più semplice la comprensione, un algoritmo può essere rappresentato sotto forma di diagramma di flusso. Quindi:

1. Deve essere finito e concludersi dopo un numero finito di operazioni;
2. Deve definito e preciso: ogni istruzione deve essere definita in forma non ambigua;
3. Se ci sono dati in ingresso, deve essere precisato il campo di applicazione (numeri interi, reali ecc.);
4. Deve fornire almeno un risultato (dato in uscita);
5. Deve essere eseguibile, tutte le operazioni devono poter essere eseguite esattamente e in tempo finito, manualmente.

Tratto da “The Art of computing” di Donald Knuth

CONCETTO DI DIVISIBILTA’

In genere il termine divisibile è riservato ai numeri naturali. Dati due numeri a e b, SE il quoziente non è un numero naturale, ALLORA si dice che a non è divisibile per b. Un numero è PARI se è divisibile per 2.

Sviluppo del piano d’azione

Si definisce il campo d’applicazione, cioè quali sono i dati in ingresso; si stabilisce una procedura definita e precisa; con un determinato numero di passaggi. Prendiamo un numero qualsiasi, diverso da 0 e che faccia parte dell’insieme N dei numero naturali. (Si è stabilito quali sono i dati in ingresso). Si prende il numero e losi divide per 2, possiamo avere due risultati il primo può essere ancora un numero naturale oppure può essere un numero decimale.

La domanda è la seguente: “Il risultato è un muero intero?”

La risposta può essere VERO allora è un numero PARI, se è FALSO allora è un numero DISPARI.

Il flow-chart può assumere la seguente forma:

IMPLEMENTAZIONE

• Implementare significa trovare un software adatto a svolgere tramite il computer l’algoritmo preparato per risolvere questo problema. Nel nostro caso si è scelto il f.e. EXCEL. Il foglio elettronico ha alcune caratteristiche che possono aiutarci….

1. Il f.e. è un foglio a quadretti con segnate le coordinate per ciascun quadretto o cella;
2. I quadretti sono “intelligenti”;
3. Possono eseguire operazioni aritmetiche;
4. Contenere formule ed eseguire confronti;
5. Contenere testi.

• 

• 

• 

• 

Per quello che ci serve si può dire che nelle celle si possono introdurre numeri e formule e avere il risultato (ovviamente sotto forma di numero); si possono introdurre numeri e OPERATORI DI CONFRONTO (=, >, <, >=, <=, <>) (uguale a, maggiore di, minore di, maggiore o uguale di, minore o uguale di,  diverso da) e ottenere un valore di verità VERO o FALSO.

Elementi di EXCEL utili per l’algoritmo

• Operatore / per eseguire la divisione;
• Funzione INT(num) che restituisce la parte intera di num: es. INT(8,5)=8;
• Funzione SE(test;se_vero;se_falso); Restituisce se_vero se il test = VERO; Restituisce se_falso se il test = FALSO;
• es. SE(FALSO;”anna”;”katia”) = katia ;
• Operatore di confronto =; restituisce VERO o FALSO

• 

• 

• Nelle celle I4 e I6 si introducono gli eventi;
• Nella cella I9 si effettua la divisione per 2 del numero in esame (è in C6);
• Nella cella I10 si usa la funzione INT che restituisce solo la parte intera di della divisone per 2 eseguita sul numero in esame (è in C6)
• Nella cella I12 si effettua il confronto tra I9 e I10, come risposta si riceverà il valore boolean VERO o FALSO;
• Nella cella I15 si usa la funzione SE.

E’ inserito il file xls dove è implementato l’algoritmo.

Un pò di storia

Secondo la teoria dei numeri:
Lo studio dei numeri come entità astratte fu introdotto dai pitagorici, tuttavia la prima esposizione completa della teoria dei numeri, ossia delle proprietà dei numeri interi e dei rapporti tra numeri interi, è dovuta a Euclide. Nei libri VII, VIII e IX della celebre opera Elementi sono riportate le definizioni di multiplo, di numero perfetto, di numero primo e di numero composto.

Microsoft® Encarta® Enciclopedia Plus 2002. © 1993-2001 Microsoft Corporation

Numeri pari e numeri dispari, un po’ di storia

La classificazione dei numeri naturali in pari e dispari si perde nella notte dei tempi. Pur risalendo agli Egiziani e ai Babilonesi, essa è stata sviluppata e raffinata dai Pitagorici, che credevano nella supremazia dei numeri dispari, o numeri maschili, emanazioni del divino e quindi benefici, e nella debolezza dei numeri pari, o numeri femminili, manifestazioni del terrestre.

Tra le innumerevoli affermazioni attribuite a Pitagora, portavoce degli dei, ci sarebbe questa ripresa dal poeta latino Virgilio (I secolo a.c.) nelle sue Egloghe, e passata da allora in poi al rango di massima: “Numero Deus impare gaudet” (A Dio piace il numero dispari).

Tale citazione si trova anche in Capricci e superstizioni nell’Encyclopédie.

Senza dubbio questo valore simbolico della distinzione tra il pari e il dispari giustifica implicitamente l’importanza che le accorda Euclide, il quale le dedica dieci proposizioni del libro IX degli Elementi, anche se si tratta di proposizioni molto elementari ed i scarso interesse matematico.

Vi appaiono:

Queste distinzioni faranno la fortuna dei matematici del Medioevo, e si conserveranno fino al Rinascimento.

Tratto dal “Dizionario di matematica elementare” di Stella Baruk edito Zanichelli

Storyboard

Si allega anche la stoyboard di questo progetto.