GEORGE BOOLE

La formalizzazione della logica

Ada Lovelace e George Boole sono nati nello stesso anno ad un mese di distanza. Non è certo se ebbero modo di incontrarsi, ma è bello pensare che in queste ipotetiche occasioni abbiano possano anche avere discusso dei principi dell’algebra booleana. Detto in modo molto semplificato, Boole matematizzò la logica classica secondo i principi dell’algebra. Questa formalizzazione matematica della logica è una delle chiavi di volta della moderna informatica! Il lavoro di Boole è paragonabile per importanza all’introduzione dello zero in occidente, da parte di Fibonacci.

Il lavoro svolto da Boole è fondamentale per l’informatica e inizialmente non è semplice capirlo, perché applica una logica molto rigida che male si adatta alla logica di tutti i giorni. In questo caso per meglio introdurre il lettore nell’atmosfera Vittoriana e nella logica di Boole ci sono delle bellissime vignette illustrate da Sidney Padua nel suo libro “The THRILLING ADVENTURES of LOVELACE AND BABBAGE” che spiegano in modo umoristico il pensiero di Boole.

La vignetta è un esempio di come diverge la logica adoperata nel linguaggio di tutti i giorni da quella molto rigida formalizzata da Boole. Il gioco di parole è basato su due negazioni che fanno un’affermazione. In questa vignetta il valletto dice: “NON vieni dentro? Boole risponde NO” due negazioni fanno una affermazione e quindi entra!

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George Boole è un grande matematico e logico che vide la luce a Lincoln nel 1815, è ricordato per aver scritto “Investigazione sulle leggi del pensiero” (THE LAWS OF TOUGHT”. Il suo apporto è di un’importanza fondamentale, ha aperto la strada all’informatica moderna! Non ha potuto rendersene conto perché morì giovane, a soli 49 anni, e solo dopo alcuni decenni un giovane americano Claude Elwood Shannon, a solo 28 anni scrisse “A Mathematical Theory of Communication” il fondamento dell’informatica dove osserva l’anologia di comportamento dei circuiti elettrici con l’algebra booleana.

Tornando a Boole bisogna notare che visse in un periodo storico, quello vittoriano, fecondo di scoperte e scienziati che produssero opere fondamentali per l’umanità intera.

Contemporanei di George Boole furono scienziati del calibro di Charles Darwin con “L’0rigine della specie”, Michael Faraday con “The Chemical History of a Candle” Georges Lyell con “The Geological Evidence of Man” e molti altri..

La critica del tempo, pur apprezzando l’opera di Boole non le diede l’importanza meritata, affermando che era destinata ad un limitato e circoscritto pubblico, composto di scienziati e matematici. Presto avrebbe esaurito la sua carica comunicativa ed esplicativa e quindi fu relegato nel dimenticatoio!

Che cosa trattava? Citiamo due passaggi dall’introduzione del libro:

“Il design di questo trattato è di investigare le leggi fondamentali di quelle operazioni della mente con le quali sono eseguite il ragionamento, di darle espressione nel linguaggio simbolico di un calcolo e su questa base stabilire la scienza della logica.”

“Quest’ algebra conduce alla definizione di leggi per la manipolazione simbolica che consentono di COMBINARE simboli in modo coerente dal punto di vista logico, INDIPENDENTEMENTE da ciò che tali simboli possono rappresentare.”

L’importanza di questo trattato sta nell’aver formalizzato la LOGICA con l’ALGEBRA!

Fin dai tempi di Aristotele, il padre della logica (Vero/Falso), si era tentato di codificare la materia, ma solo con Leibniz (1646-1716) si era iniziato a fornire una veste matematica con l’introduzione del sistema binario (0, 1) e la famosa frase “CALCULEMUS”.

Calculemus!    Il sogno di Leibniz

Luigi Catalani Follow Mar 2, 2018

La complessità dell’universo in un unico calcolo simbolico

L’idea lulliana di un alfabeto del pensiero umano che funzioni automaticamente, mediante la combinazione di lettere, fu sviluppata quattro secoli più tardi nella Dissertatio de arte combinatoria(1666) da Gottfried Leibniz, la mise in relazione con la sua idea di una mathesis universalis, cioè di una logica concepita come matematica generalizzata.

“Secondo ciò — scrive Leibniz — quando sorga una controversia, non ci sarà più necessità di discussione tra due filosofi di quella che c’è tra due calcolatori. Sarà sufficiente prendere una penna, sedersi al tavolo e dirsi l’un l’altro: calcoliamo (calculemus)!”.

L’Ars lulliana è interpretata, dunque, come un tipo di pensiero automatico, una sorta di meccanismo concettuale che, una volta stabilito, funziona da sé. 

Il trattato di Boole uscì nel 1854, ma già nel 1847 “Analisi Matematica della Logica” abbiamo l’introduzione alla Boolean Algebra’s che meglio esplicita il concetto di formalizzazione della Logica:

“Coloro che hanno familiarità con lo stato attuale della teoria dell’algebra simbolica sono consapevoli che la validità dei procedimenti dell’analisi non dipende dall’interpretazione dei simboli che vi sono impiegati, ma soltanto dalle leggi che regolano la loro combinazione.”

L’algebra degli insiemi di Boole

Proviamo a seguire le tracce di Boole lungo il percorso che conduce alla definizione di leggi per la manipolazione simbolica che consentono di combinare simboli in modo coerente dal punto di vista logico, indipendentemente da ciò che tali simboli possono rappresentare. La teoria degli insiemi, qui adoperata, adotta diverse notazioni. Noi adopreremo quella “x, y, z” in uso presso i matematici. Le lettere maiuscole tipo, A B U, è in uso presso i logici e filosofi.

Se x è un enunciato, allora scrivendo x=1 si Intende VERO!

Se x è un enunciato, allora scrivendo x=0 si Intende FALSO!

Principio di bivalenza

Le variabili x, y sono variabili booleane. Le variabili possono assumere solo due valori: 0, 1

Il principio di bivalenza, già trattato in Leibniz, afferma che per ogni proposizione x, o x è vera oppure x è falsa, ossia il grado di verità di una proposizione ammette valori nell’insieme discreto {VERO, FALSO} la sua formulazione algebrica è:

Questa funzione è risolubile solo quando x assume i valori 0 oppure 1. (da qui l’introduzione del sistema binario)

Stabilito che trattiamo con un alfabeto binario, il lavoro di formalizzazione di Boole fu quello di individuare tre connettivi principali per “algebrizzare” le combinazioni delle proposizioni che sottostavano al principio di bivalenza, cioè o solo VERE o solo FALSE.

Partiamo dai due connettivi principali.

AND

Si tratta della congiunzione e, congiunge due proposizioni che possano assumere solo valori VERO/FALSO. 

L’operatore AND rappresenta l’operazione di intersezione di due insiemi e può essere assimilato al PRODOTTO delle due variabili.

Diagramma di Eulero-Venn che illustra l’operazione d’intersezione tra due insiemi A  B

OR

Si tratta della disgiunzione inclusiva O, disgiunge due proposizioni che possano assumere solo valori VERO/FALSO

L’operatore OR rappresenta l’operazione di unione di due insiemi e può essere assimilato alla SOMMA delle due variabili. Diagramma di Eulero-Venn che illustra l’unione di due insiemi

Esempio AND

x: individui che hanno gli OCCHI AZZURRI

y: individui che sono MANCINI

Abbiamo due proposizioni, x y, alle quali applicare il connettivo AND per formare la seguente frase:

individui che hanno gli occhi azzurri   AND   individui che sono mancini

questa frase si interpreta come tutti quegli individui che CONTEMPORANEAMENTE hanno gli occhi azzurri e sono mancini, nell’insieme z gli individui hanno gli occhi azzurri e sono mancini!

AND  è assimilabile al prodotto logico (comportamento simile a quello aritmetico)

Si interpreta: solo se sono VERE entrambe le proposizioni, in questo caso è VERA l’intera frase!!

Esempio OR

x: individui che hanno gli OCCHI AZZURRI

y: individui che sono MANCINI

Abbiamo due proposizioni, x y, alle quali applicare il connettivo OR e formare la seguente frase:

individui che hanno gli occhi azzurri   O   individui che sono mancini

questa frase si interpreta come tutti quegli individui che hanno gli occhi azzurri OPPURE sono mancini, nell’insieme z gli individui hanno gli occhi azzurri e sono mancini (nella sostanza tutti).

OR  assimilabile alla somma logica (comportamento simile a quello aritmetico)

S’interpreta che la frase è VERA, anche se una delle proposizioni è FALSA

NOT

I connettivi AND (e)  OR (o) sono biargomentali, ma per completare il quadro dell’algebra booleana si introduce l’operatore monoargomentale NOT (non).

Con la logica proposizionale gli enunciati possono essere rappresentati mediante le lettere maiuscole dell’alfabeto; per esempio, A=1 e B=0

1 è VERO     0 è FALSO

la negazione può essere rappresentata o con la barretta sopra la lettera maiuscola o con il simbolo  

Questo perché tre discipline si sono interessate a questo argomento: Filosofia, Matematica, Logica. I diversi studiosi si sono premurati di scegliere una simbologia adatta alle loro esigenze.

XOR

Nella lingua italiana esistono due modi per fare disgiunzione, la prima è quella dell’OR inclusivo (oppure) derivante dal vel latino che è assimilabile all’UNIONE di due insiemi, con equivalenza nell’ambito dell’aritmetica classica all’operazione di somma, la seconda è OR esclusivo derivante dal latino aut aut, o hai gli occhi azzurri o sei mancino, ma non tutte e due le cose contemporaneamente!