leibniz_03 duale

Rappresentazione duale

Si inizia con il dare la definizione di linguaggio binario. Per linguaggio binario si intende quel linguaggio il cui alfabeto è un insieme A formato da due elementi: A=(0,1)

Le parole di questo linguaggio saranno pertanto 0, 1, 10, 100, 11010    ecc.

Il linguaggio binario può essere usato anche come sistema di numerazione, associando a ciascun carattere binario un valore uguale ad una potenza di 2: alla posizione più a dx si associa la potenza 0, a quella che segue procedendo verso sx la potenza 1, poi la potenza 2 e così via. Questo è un sistema di numerazione posizionale.

Il sistema numerico adoperato nella vita di tutti i giorni, è il sistema numerico decimale, di chiara origine antropomorfa (basti pensare alle dieci dita!).Esso è costituito dalle dieci cifre (simboli) a tutti note: 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 (zero uno due tre quattro cinque sei sette otto nove).

È un sistema posizionale, sta a significare che la cifra all’interno del numero assumerà un determinato valore a seconda della posizione in cui è collocata:

7	9	5	6
migliaia	centinaia	decine	unità

La lettura di questo numero è: settemilanovecentocinquantasei

Come viene costruito un numero nel sistema decimale? Viene costruito riutilizzando le cifre e assegnando loro posizioni differenti, esempio:

		POSIZIONI
numero	migliaia	centinaia	decine	unità
zero				0
uno				1
due				2
tre				3
dieci			1	0
undici			1	1
dodici			1	2
centoventinove		1	2	9
milletrecentonove	1	3	0	9

Dalla tabella si desume facilmente che all’esaurimento dei simboli grafici a disposizione (cifre), si riutilizzano i simboli a disposizione assegnando un valore alla POSIZIONE.

Quali valori si assegnano a queste posizioni? Ovviamente la risposta è scontata: i valori della potenza di 10!

Ad esempio il numero 1309 lo si può scrivere in forma polinomiale:

Quindi si otterrà espletando le potenze:

1309=1*1000+3*100+0*10+9*1

Un sistema binario (o più correttamente duale) ha a disposizione solo due simboli (cifre) per rappresentare i numeri: 0 e 1.

La costruzione dei numeri col sistema binario è la seguente, inoltre viene anche esplicato il nome delle posizioni che essi assumeranno:

NUMERO		POSIZIONI
	ottave	quaterne	coppie	unità
zero				0
uno				1
due			1	0
tre			1	1
quattro		1	0	0
cinque		1	0	1
sei		1	1	0
sette		1	1	1
otto	1	0	0	0
nove	1	0	0	1
dieci	1	0	1	0
undici	1	0	1	1
dodici	1	1	0	0
tredici	1	1	0	1
quattordici	1	1	1	0
quindici	1	1	1	1

Come si può vedere è facile costruire numeri in binario ma questo sistema è ovviamente lungo e noioso.

1. Trasformazione di un numero decimale in un binario

Per trasformare un numero dal sd al sb si procede nel seguente semplice modo.

Si scrive il numero e lo si divide per due ripetutamente:

Si possono presentare due casi:

–  il resto della divisione è eguale a 1;

–  il resto della divisione è eguale a 0.

Questi resti vengono scritti in colonna a fianco delle rispettive divisioni e poi letti dal basso in alto ci daranno il numero in sb.

I resti vanno letti dal basso verso l’alto, quindi si avrà:

93=1011101

Da notare che l’ultimo quoziente deve essere sempre eguale a zero.

2. Trasformazione di un numero dal sistema binario al sistema decimale

I valori delle posizioni nel sb sono rappresentati dalle potenze di due.

Ad esempio si può scrivere il numero in sb, in forma polinomiale e poi eseguire i calcoli per avere il numero in sd.